Cos'è matrice trasposta?

Matrice Trasposta

La matrice trasposta di una matrice A, indicata come A<sup>T</sup> (o a volte A') è una matrice ottenuta scambiando le righe e le colonne di A. In altre parole, l'elemento a<sub>ij</sub> in posizione (i, j) della matrice A diventa l'elemento a<sub>ji</sub> in posizione (j, i) della matrice trasposta A<sup>T</sup>.

Formalmente, se A è una matrice m x n, allora A<sup>T</sup> è una matrice n x m, dove:

A<sup>T</sup><sub>ij</sub> = A<sub>ji</sub>

Esempio:

Se A =

1 2 3
4 5 6

Allora A<sup>T</sup> =

1 4
2 5
3 6

Proprietà Importanti:

  • La trasposta della trasposta di una matrice è la matrice originale: (A<sup>T</sup>)<sup>T</sup> = A. Puoi trovare maggiori informazioni su questo concetto qui: https://it.wikiwhat.page/kavramlar/proprietà%20della%20matrice%20trasposta

  • La trasposta della somma di due matrici è la somma delle loro trasposte: (A + B)<sup>T</sup> = A<sup>T</sup> + B<sup>T</sup>. Informazioni aggiuntive sulla somma%20di%20matrici sono disponibili a questo link.

  • La trasposta del prodotto di uno scalare per una matrice è il prodotto dello scalare per la trasposta della matrice: (cA)<sup>T</sup> = cA<sup>T</sup>. Per ulteriori dettagli su scalari, visita questa pagina.

  • La trasposta del prodotto di due matrici è il prodotto delle loro trasposte in ordine inverso: (AB)<sup>T</sup> = B<sup>T</sup>A<sup>T</sup>. Maggiori informazioni sul prodotto%20di%20matrici sono disponibili qui.

Matrice Simmetrica:

Una matrice A è detta simmetrica se è uguale alla sua trasposta, cioè A<sup>T</sup> = A. Questo significa che la matrice deve essere quadrata. Un esempio e una spiegazione più dettagliata di cosa significa essere matrice%20simmetrica sono disponibili a questo link.

Matrice Anti-simmetrica (o Emisimmetrica):

Una matrice A è detta anti-simmetrica (o emisimmetrica) se la sua trasposta è uguale al suo negativo, cioè A<sup>T</sup> = -A. Anche in questo caso, la matrice deve essere quadrata. Ulteriori informazioni sulle matrici%20anti-simmetriche possono essere trovate qui.

Applicazioni:

La matrice trasposta trova impiego in molti settori della matematica, dell'ingegneria e della fisica. Alcune applicazioni includono:

  • Risoluzione di sistemi lineari.
  • Calcolo di autovalori e autovettori.
  • Analisi di dati e machine learning.
  • Grafica 3D e trasformazioni geometriche.